基礎数学例

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

ステップ 1

$3^{1 - a}$ を $3^{1} \cdot 3^{- a}$ に書き換えます。

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

ステップ 2

$3^{- a}$ を累乗法として書き換えます。

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

ステップ 3

$u$ を $3^{a}$ に代入します。

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

ステップ 4.2

$3$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{3}{u} - u = 2$

ステップ 5

$\frac{3}{u}$ と $- u$ を並べ替えます。

$- u + \frac{3}{u} = 2$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 6.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 6.2

$- u + \frac{3}{u} = 2$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.2.1

$- u + \frac{3}{u} = 2$ の各項に $u$ を掛けます。

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- u^{2} + 3 = 2 u$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $2 u$ を引きます。

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$- 1$ を $- u^{2} + 3 - 2 u$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$3$ を移動させます。

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.1.2

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.1.3

$- 1$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 6.3.2.1.5

$- 1$ を $- (u^{2}) - (2 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 6.3.2.1.6

$- 1$ を $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

ステップ 6.3.2.2

因数分解。

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ステップ 6.3.2.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 3$ を因数分解します。

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ステップ 6.3.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 6.3.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

ステップ 6.3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

ステップ 6.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

ステップ 6.3.4

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 6.3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 6.3.5

$u + 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.5.1

$u + 3$ が $0$ に等しいとします。

$u + 3 = 0$

ステップ 6.3.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$u = - 3$

ステップ 6.3.6

最終解は $- (u - 1) (u + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 1, - 3$

ステップ 7

$1$ を $u = 3^{a}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = 3^{a}$

ステップ 8

$1 = 3^{a}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $3^{a} = 1$ として書き換えます。

$3^{a} = 1$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

ステップ 8.3

$a$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{a})$ を展開します。

$a \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 8.4

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$a \ln (3) = 0$

ステップ 8.5

$a \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.5.1

$a \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 8.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$a = 0$

ステップ 9

$- 3$ を $u = 3^{a}$ の中の $u$ に代入します。

$- 3 = 3^{a}$

ステップ 10

$- 3 = 3^{a}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $3^{a} = - 3$ として書き換えます。

$3^{a} = - 3$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

ステップ 10.3

$\ln (- 3)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 10.4

$3^{a} = - 3$ の解はありません

解がありません

ステップ 11

方程式が真になるような解をリストします。

$a = 0$

基礎数学 例

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